Atualização bayesiana: exemplo explicado passo a passo

Há mil cartões em uma caixa. Duzentos têm uma estrela na frente; os demais não. Um cartão será sorteado com chances iguais para todos. Antes de vê-lo, a probabilidade de encontrar uma estrela é de 20%.

Agora recebemos uma informação: o verso do cartão sorteado é azul. Isso muda a chance de haver uma estrela? Para responder, precisamos saber como os versos azuis se distribuem entre os dois tipos de cartão.

Atualização bayesiana é o cálculo que transforma uma probabilidade inicial em uma probabilidade condicionada a uma evidência. O exemplo a seguir é um conjunto didático inteiramente definido, com contagens inventadas para tornar a conta verificável.

O que existe dentro da caixa

Entre os 200 cartões com estrela, 160 têm verso azul. Entre os 800 sem estrela, também há 160 com verso azul.

Se o verso é azul, o cartão pertence ao grupo de 320 cartões dessa cor. Metade deles tem estrela: 160 ÷ 320 = 50%. A informação muda o conjunto relevante para a pergunta.

Compare as duas afirmações: 80% dos cartões com estrela têm verso azul; 50% dos cartões com verso azul têm estrela. Ambas são verdadeiras neste baralho. A direção da condição muda o denominador.

A mesma conta com o teorema de Bayes

Chame de C o evento “ter estrela” e de E o evento “ter verso azul”. A notação P(C | E) significa a probabilidade de C quando sabemos que E ocorreu.

Neste conjunto, P(C) = 0,20; P(E | C) = 0,80; e P(E | não C) = 0,20. O complemento P(não C) é 0,80. Como ter estrela e não ter estrela são resultados exclusivos que cobrem todos os cartões, podemos escrever:

P(C | E) = [P(E | C) × P(C)]
           ÷ [P(E | C) × P(C) + P(E | não C) × P(não C)]

P(C | E) = (0,80 × 0,20)
           ÷ [(0,80 × 0,20) + (0,20 × 0,80)]

P(C | E) = 0,16 ÷ 0,32 = 0,50 = 50%

A probabilidade inicial, ou prior, era 20%. A probabilidade depois da informação, ou posterior, é 50%. A regra é apresentada nas notas de probabilidade da Penn State; o baralho é um exercício de aplicação.

O verso azul ajuda porque é mais frequente entre os cartões com estrela. Ainda assim, não identifica a estrela com certeza: os cartões sem estrela também podem ter essa cor.

O ponto de partida continua importando

Mantenha, apenas para comparar modelos, 80% de versos azuis entre os cartões com estrela e 20% entre os demais. Altere a proporção inicial de estrelas:

O mesmo tipo de evidência produz resultados diferentes conforme o ponto de partida. Quando há poucas estrelas, um grupo grande de cartões sem estrela ainda pode contribuir com muitos versos azuis.

Em uma aplicação real, transportar essas proporções para outro conjunto é uma hipótese. O novo conjunto pode ter outra composição, e a relação entre a evidência e o resultado pode mudar. O cuidado com taxas-base vale tanto para o ponto de partida quanto para as probabilidades condicionais.

O que a conta não resolve

No baralho, conhecemos exatamente todas as contagens. Em dados observados, as frequências usadas como estimativa também têm incerteza. Uma proporção baseada em cinco registros exige um cuidado diferente de um histórico maior e comparável.

Não foi preciso supor independência entre a estrela e o verso azul. A associação entre eles é justamente o que permite atualizar a probabilidade. Se recebêssemos outra evidência, seria necessário conhecer sua relação com a primeira antes de multiplicar probabilidades.

Ver a cor e receber uma mensagem dizendo que o verso é azul não produz duas informações independentes. É o mesmo acontecimento apresentado duas vezes.

A conta também não demonstra causalidade. Pintar o verso de azul não cria uma estrela na frente. E a probabilidade de encontrar uma estrela não diz, por si só, quanto valeria participar de um jogo com esses cartões: isso exigiria conhecer regras, custos e consequências.

Ao usar a atualização numa decisão, registre a população, a evidência e a origem das probabilidades no diário de decisões. Se alguma dessas condições mudar, confira o modelo antes de reaproveitar o resultado de 50%.